Bentuk-bentuk Fungsi Model Regresi

            Dalam analisis digunakan istilah regressand yang berarti variable tergantung (depent variable) dan regresssors yang berarti variable bebas (independent variables) atau variable penjelas (explanatory variables).

1.      Model-model: Double-log, Log-linear, atau constant-elasticity

Perhatikan model berikut:

Y_i = α_oX_i^-βe^ui

Atau dapat ditulis menjadi:

L_nY_i = L_nα_o – βL_nC_i + U_i

Dimana L_n = Logaritma natural yaitu log dengan basis e;e = 2,718. Fungsi ini merupakan fungsi linier dalam log, karena variable In Y adalah fungsi linier variable In X. Istilah matematisnya adalah model *log-log* (double-log) atau model “log-linier” (log-linear).

Model di atas dapat ditulis menjadi Y_i* = α –βX_i* +U_i, dimana, Y_i*  = L_nY_i, X_i* = L_nX_i dan α = Lnαo. Penaksir-penaksir OLS, _o dan  yang diperoleh merupakan penaksir-penksir α dan β yang memenuhi sifat BLUE.

Model “log-linier” memiliki dua sifat khusus , yaitu:

(a)    Model ini mengasumsikan bhwa koefisien elastisitas antara Y dan X (yaitu β) adalah konstan. Model ini disebut “model elastisitas konstan* (constant elasticity model).

(b)   Walaupun  dan  merupakan penaksir-penaksir yng tidak bias terhadap α dan β, namun “antilog”-nya (yaitu  _o) merupakan penaksir yang bias (biased estimator). Meskipun demikian,  _o merupakan penaksir yang konsisten bagi  _o. Biasanya analisis ekonomi difokuskan pada slope, yakni β, sehingga tidak perlu dirisaukan meskipun  _o merupakan penaksir yang bias.

2.      Model-model Semilog

Dua bentuk model berikut ini disebut model semilog, yaitu:

L_nY_i = α_o + α₁X_i + U_i, dan

Y_i     = β_o + β₁L_nX_i + U_i

Pada model yang pertama terlihat bahwa slope (α₁) mengukur perubahan proporsional Y sebagai akibat perubahan absolute X, yaitu:

α₁    =  (L_nY_i) = () ()

      = () () = 

Oleh karena itu,

α₁ = Perubahan Proporsional Y

             Perubahan absolute Y

3.      Model-Model Hiperbola atau Model Transformasi Terbalik

Model-model ini disebut model “Transformasi terbalik” (Recipro-cal Transformation):

Y_i = α+ β () + U_i

Jika α dan β positif, menunjukkan Y menurun secara nir-linier bila X menigkat. Y menurun secata kontinyu dengan meingkatnya X, kemudian mendekati nilai asimptotik konstan sebesar intercept model.

Model semacam ini mempunyai nilai asimptotik atau nilai limit (limit value) sebesar α dimana nilai variable terikat ditentukan oleh nilai X.

Bentuk lain dari model hiperbola adalah model log-hiperbola seperti berikut ini:

L_nY_i = α – β () + U_i

Atau    Y_i = e^α-β/Xi  U_i

No.	Nama Fungsi	Hubungan Aljabar	Lereng (slope)	Koefisien Elastisitas
1.	Linier	Y= α + βX Y= α – βX	(+) β (-) β	(+) β() (-) β()
2.	Kuadratik	Y= α + β1X -  β1X2 Y= α - β1X + β1X2	(+) (β1 - 2β2X) (-) (β1 - 2β2X)	(+) (β1 - 2β2X) Y (-) (β1 - 2β2X) Y
3.	Hiperbola	Y= α +  Y= α -	(-)  β       X2 (+)  β        X2	(-) β () (+) β ()
4.	Semilog	LogeY= α + βX Y= eα + βX LogeY= α - βX Y= eα - βX Y= α + βLogeX eY= α + Xβ Y= α - βLogeX eY= α + X-β	(+)  β        X2 (-) βY (+)  β        X (-)  β       X	(+) βX (-) βX (+) β() (-) β()

Tabel 6.1

Bentuk-Bantuk Model

DEFINISI, RUANG LINGKUP, dan TUJUAN EKONOMETRI

  Apakah Ilmu Ekonometri Itu?

 Ekonometri adalah ilmu yang mengkombiasikan teori ekonomi dan statistic ekonomi, dengan tujuan menyelidiki dukungan empiris dan hokum skematik yang dibangun oleh teori ekonomi. Nama “Ekonometri” diperkenalkan pada tahun 1926 oleh seorang pakar ekonomi dan statistik bangsa Norwegia, Ragnar Frisch. Ekonometri pada dasarnya merupakan model “Biometri” yang muncul pada akhir abad ke-19, yaitu suatu bidang ilmu biologi yang memanfaatkan penggunaan metode-metode statistik.

  Metodologi Ekonometri

 Berdasarkan hubungan-hubungan pada teori ekonomi, prosedur atau tahapan ekonometri meliputi langkah-langkah berikut :
 
(1) Spesifikasi, memilih variabel, menspesialisasikan hubungan atas dasar teori teori ekonomi (atau hipotesis). Kemungkinan kesalahan yakni variabel bebas yang sesuai tidak dimasukkan, variabel bebas yang tidak sesuai dimasukkan, under-identifikasi.

  (2) Rancangan statistic untuk mendapatkan data.

(3) Penafsiran (estimation), persyaratannya yakni penaksir-penaksir yang memiliki sifat-sifat unbiased, konsisten, efisien, dan sufficient. Kemungkinan kesalahan yakni penaksir-penaksir tidak memiliki sifat-sifat yang dibutuhkan sebagai akibat adanya otokorelasi, heteroskedastisitas, multikolinearitas didalam sampel.

  (4) Verifikasi (pengujian), persyaratannya yakni penafsiran ekonomi terhadap hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3. Bevolusi dari teori ekonomi atau hipotesis. Penolakkan teori ekonomi jika teori tersebut tidak valid, dan membuat hipotesis baru lalu mulai lagi dari langkah 1. Kemungkinan kesalahan pengujian dan tidak sesuainya pengujin dengan verifikasi validitas hipotesis.

  (5) Penerapan (aplikasi), persyaratannya yakni tujuan utama ekonometri adalah mendapatkan ramalan (prediksi) yang dipercaya (untuk keperluan pengambilan kebijakkan ekonomi). Kemungkinan kesalahan peramalan yang menyimpang, bila ramalan tersebut digunakan untuk pengambilan kebijaksanaan, mengakibatkan kerugian bagi kesejahteraan masyarakat.

  Ekonometri dan Ekonomi Matematik

 Ilmu ekonomi matematik mengubah bentuk bahasa ekonomi dalam pengertian simbolsimbol matematik. Ilmu ekonomi matematik dan ilmu ekonomi literer yang nir-matematik adaah kenyataandalam ekonomi matematik, semua asumsi dan kesimpulan dinyatakan dengan simbol-simbol matematik dan persamaan-persamaan, bukan dalam bentuk verbal (kata atau kalimat).
 Ekonometri mengasumsikan setiap hubungan ekonomi sebagai hubungan statistik, yaitu ada gangguan dalam pola-pola perilaku pasti seperti yang digariskan oleh teori ekonomi atau ekonomi matematik. Ekonomi matematik tidak menghasilkan nilai-nilai numeric. Dengan mengkombinasikan formula matematik dari teori data empiris, ekonometri memberikan jalan untuk beralih dari kerangka teori abstarak ke hasil-hasil numeric dalam kasus-kasus nyata.

  Ekonomi dan Statistik  

  Statistik matematik didasarkan pada teori probabilitas, bekerja melalui metode-metode pengukuran yang dibangun atas dasar percobaan atau eksperimen terkendali atau terencana secara cermat. Ide-idde dasar dari statistik matematik dapat diterapkan dalam ekonometri, asalkan diterapkan tidak secara membabi-buta. Metode-metode itu diterapkan setelah diadaptasi oleh perilaku random yang terdapat didalam masalah-masalah ekonomi. Metode statistik yang telah disesuaikan inilah yang disebut “metode-metode ekonometri”.

  Tujuan Ekonometri

  Membuktikan atau menguji validitas teori-teori ekonomi (verifikasi). Menghasilkan taksiran-taksiran numerik bagi koefisien-koefisien hubungan ekonomi yang selanjutnya bisa digunakan untuk keperluan kebijakkan ekonomi (penafsiran). Meramalkan nilai besaran-besaran ekonomi dimasa yang akan datang dengan derajat probabilitas tertentu (peramalan).

   Pengujian (Pembuktian) Teori Ekonomi
  
   Contoh : Seorang produsen memperkirakan bahwa permitaan akan produknya relative inelastic. Akan sangat berguna bagi si produsen untuk mengetahui, dalam suatu balas probabilitas tertentu, elastisitas permintaan berkisar antara -3 dan -5. Dengan koefisien sebesar itu, tidak akan menurunkan harga produknya karena dengan menurunkan harga, penerimaan perusahaan berkurang.
  Ekonometri memberikan taksiran elastisitas semacam itu. Pengetahuan mengenai elastisitas permintaan dan penawaran memungkinkan taksiran beban pembayaran pajak penjualan kepada pemerintah. Siapakah yang paling banyak menanggung beban pajak penjualan, konsumen atau produsen? Berapa besarnya? Jawaban terhadap pertanyaan tersebut diberikan oleh ekonometri.

Peramalan Nilai Besaran-besaran Ekonomi

 Model ekonometri selain digunakan untuk keperluan pengujian teori dan penaksiran nilai numerik koefisien dari hubungan-hubungan ekonomi juga digunakan untuk meramal. Pada masa sekarang ini “peramalan” sangat penting untuk keperluan perencanaan pembangunan ekonomi di Negara-negara yang sedang berkembang maupun unutuk pengaturan aktivitas ekonomi dinegara-negara maju.

  Hakikat Pendekatan Ekonometri

  Langkah 1 : menspesifikasikan model. Langkah ini meliputi : Variabel bebas atau variabel penjelas maupun variabel terikat yang akan dimasukkan dalam model. Asumsi-asumsi a priori mengenai nilai dan tanda parameter dari model. Bentuk matematis dari model.

  Langkah 2 : penaksiran model dengan metode ekonometri yang tepat, meliputi : Pengumpulan data berkaiitan dengan variabel-variabel yang masuk dalam model . Menyelidiki ada tidaknya masalah multikolinieritas. Menyelidiki syarat identifikasi jika modelnya mengandung lebih dari satu perasamaan. Memilih teknik ekonometri yang tepat untuk penaksiran model.

  Langkah 3 : dievaluasi atas dasar criteria tertentu, digunakan tiga criteria untuk evaluasi, yaitu: Kriteria “a priori” ekonomi Kriteria statistic Kriteria Ekonomi

  Langkah 4 : menguji kekuatan peramalan model.

  Ekonometri Teoritis dan Ekonometri

  Terapan Ekonometri teorotis  berkaitan dengan pengembangan metode yang tepat untuk mengukur hubungan-hubungan ekonomi yang digambarkan oleh model-model ekonometri.
  Metode ini dapat diklasifikasikan ke dalam dua kelompok, yaitu : Metode atau teknik persamaan tunggal, diterapkan untuk satu hubungan (persamaaan) Metode atau teknik persamaan simultan, diterapkan untuk seluruh persamaan dalam model secara simultan. Bidang ilmu ekonometri teoritis juga menerangkan asumsi-asumsi dari berbagai metode, sifat-sifat, dan apa yang akan terjadi dengan sifat-sifat itu bila satu atau lebih asumsi-asumsi tidak dipenuhi. Ekonomi terapan menggambarkan nilai praktis dari penelitian ekonometri mencakup penerapan (aplikasi) teknik-teknik ekometri yang dikembangkan dalam ekonometri teoritis, pada berbagai bidang teori ekonomi untuk keperluan pengujian atau pembuktian teori ddann peramalan.

ANALISIS REGRESI SEDERHANA

Pada umumnya ilmu ekonomi mempelajari hubungan-hubungan diantara variable ekonomi .misalnya harga barang : q=f(p)begitupula dengan fungsi penawaran: S=f(p) masih banyak fungsi-fungsi lainnya seperti  fungsi kepuasan ,konsumsi,produksi, dan yang lainnya hubungan Hubungan stokastik dan Nir-stokastik

        Hubungan antara X dan Y yang berbentuk Y=f(x)dikatakan “deterministik.” Pasti atau “nir-stokastik , jika setiap nilai variable bebas (X) terdapat satu nilai variabel terikat (Y)-hubungan fungsional tersebut mendefenisikan keteranagan tunggan variable terikat pada variable-variabel bebas dalam bentuk yang spesifik . bentuknya bisa linier, kuadratik,logaritma,ekponensial atau hiperbola.

lainnya dianggap konstan atau ceteris paribus dan bentuk fungsinya adalah linier.

                        q = f (p)= 

Dengan data p dan q tertentu missalnya diperoleh  =25 dan=-2,sehingga persamaan permintaan itu menjadi

 

Q=25 -2p

Hubungan antara p dan q menunjukkan setiap nilai p tertentu , misalnya 2 satuan ;hanya ada  satu nilai q yaitu= 21 Contoh: permintaan akan suatu barang tertentu diasumsikan tergantung pada harga barang itu saja (faktor penentu  satuan.jika harga p adalah 5 satuan ,maka juumlah barang yang di minta  menjadi 15 satuan, dan seterusnya. 

            Hubungan diatas disebut hubungan “deterministik” karena setiap barang  hanya ada satu jumlah barang  yang di minta atau di jual. Hubungan pasti antara p dan q ini tidak pernah sesuai dengan dunia nyata.Oleh karena itu persamaan permintaan ini perlu diubah menjadi:

                        q= 25- 2p+U

U adalah “variabel gangguan random” karena variabel ini menggangu hubungan deterministic.

            Hubungan q =25 – 2p+ U adalah hubungan stokastik karena terdapat variabel gangguan U dalam hubungan stokastik nilai (p) yang berbeda beda  menimbulkan distribusi probalitas  variabel terikat (q) yang berbeda –beda pula.

Model Regresi Linier Sederhana

            Hubungan atau persamaan  dalam teori ekonomi biasanya mempunyai spesifikasi hubungan yang pasti  atau hubungan deterministik diantaravariabel-variabel.Hubungan pasti tidak pernah ada dalam ekonomi maka faktor-faktor stokastik harus ada dalam hubungan ekonomi.

            Bentuk paling sederhana dari hubungan stokastik antara dua variabel  X dan Y disebut model regresi linier

            Yi =n)

Y disebut variabel terikat, X merupakan variabel bebas, U adalah variabel gangguan stokastik  dan adalah parameter regresi, I menunjukkan _pengamatan yang ke –i.

Asumsi 1.     Ui adalah sebuah variabel random riil dan memiliki        distribusi normal.

Asumsi 2.     Nilai rerata dari Ui setiap periode tertentu adalah 0

                                    E[U _i²] = 0      i = 1….. n)

Asumsi 3      Varian dari U_i adalah konstan setiap periode .

                        E[U_i²] = ²                 (²  adalah konstan)

                 Asumsi ini dikenal sebagai asumsi  “ homoskedastisitas”

                                    Persamaan regresi : Y =+ U  yang berdasarkan asumsi diatas adalah “ Model Regresi Linier Klasik” yang memainkan peranan penting dalam distribisi peranan sampel parameter  oleh karena itu asumsi tersebut harus di pahami.

Pengaruh  asumsi pertama samapai ke tiga terhadap disrtibusi probalitas  dari variabel terikat Y di rankum sebagai berikut:

a.     Dalam persamaan Y_i = _i + U_i ; Y_i  merupakan pungsi dari  U_i karena berdistribusi normal, maka  Y_i berdistribusi normal.

b.     Y_i = _i + U_i

₌ X_i

Penaksiran Parameter-parameter Regresi

Yang dimaksud penaksiran  dengan metode kuadrat terkecil  adalah menemukan nilai  taksiran yang meminimumkan jumlah kuadrat residu. Nilai  yang diminimumkan jumlah Kuadrat, diperoleh dengan Misal ingin diestimasi garis Y=X + U menurunkan jumlah parsial dan menyamakan turunan dengan 0.

Penaksiran Suatu Fungsi yang Intercept-nya  nol

Dengan syarat  =0. Metode lagrannge  dapat dipakai untuk menyelesaikan  masalah tujuan meminimumkan.

Pentingnya sifat BLU

a.  Linier. Dibutuhkan untuk memudahkan perhitungan dalam penaksiran.

b.     Unbiasedness. secara sendirian sifat ini tidak berguna , menaksir sampel yang lebih mendekati  apabila jumlah sampel sangat besar.

c.      Best.sifat varian terkecil secara sendirian secara sendirian tidak di butuhkan karena taksiran memiliki varian 0 namun memikliki penyimpangan yang besar.

Penaksiran Maksimum Likelihood

Ada 2 penting yang diamati dari hasil penurunan (deviasi)

a.     Untukmembuktikan sifat BLU penaksir kuadrat terkecil tidak semua asumsi klasik di pergunakan. Misalnya  , untuk membuktikan sifat linieritas diperlukan asumsi kovarian antara faktor gangguan dan variabel bebas.

b.     Untuk mebuktikan sifat-sifat BLU  tidak perlu dibuat asumsi  bentuk spesifik dari distribusi faktor- faktor gangguan. Kenyataannya  asumsi normalitas  dari U tidak di perlukanuntuk membuktikan

Dengan Asumsi distribusi  normal  dari u_i  penaksir maksimum likelihood  dari parameter  dapat diperoleh .Parameter sutu populasi adalah nilai nilai para meter yang paling sering menurunkan sampel ditangan . Untuk mendapatkan penaksiran ini pertama harus ditentukan suatu fungsi likelihood pengamatan dalam sampel kemudian fungsi ini di maksimumkan  terhadap parameter yang tidak diketahui.

Distribusi Sampel Penaksir Kuadrat Terkecil

Karena penaksir-penaksir kuadrat terkecil merupakan kombinasi linier variabel-variabel normal Y₁, Y₂, Y₃ … Y_n  tidak saling bergantung, maka ^{^}_α  dan β juga berdistribusi normal, dengan sifat-sifat tersebut :

_(i)                                      dan adalah penaksi-penaksir yang tidak bias, yaitu rerata masing-masing sama dengan nilai α dan β yang sebenarnya.

_(ii)                                  Varian dari setiap penaksir, diketahui.

Â~ N [α,   

Β~ N [β, ]

Interval Keyakinan dan Uji Hipotesis

Semua informasi yang berhubungan denagn distribusi α dan β.  Di uraikan sebagia berikut :

  Z_β =   dan Z =

Atau

Z_β = (β-β)   dan Z

Dimana Z ~ N (0,1)

Hipotesis alternatif nya , H_o : β = 0 dan H_a : β ≠ 0

Goodness of Fit (R²)

Rincian total variasi Y ini  suatu derajat ketapatan (goodness of fit)  atau koefisien  determinasi.

R² =                

atau

R² =  =  = 1-

R² mengukur proporsi variabel terikat yang dijelaskan oleh variabel-variabel bebasnya. Apabila dimasukkan suatu variabel tambahan kedalam persamaan regresi , maka  mengecil dan akibatnya R² menjadi besar.

Pelaporan Hasil-hasil Analisa Regresi

Koefisien-koefisien regresi bersama sama dengan kesalahan standar (standart error) dan nilai R² harus dilaporkan. 

Penerapan (aplikasi)

(i) penaksiran  dan 

             =                             (5.5)

           = Y - X                          (5.6)

(ii) Penaksiran Varian

            var () = ( )     dan    var (  ) =

(iii) Penetapan Interval Keyakinan

Bila ingin menetapkan interval keyakinan ( confidence interval) untuk  dan  pada suatu tingkat probabilitas maka yang harus di peroleh terlebih dahulu adalah t (tabel-t) yang menjadi batas antara kedua sisi distribusi.

(iv) Pengujian Hipotesis

            -t _(diketahui) [SE ()]    + t_(diketahui) [SE ()]